• 概要
  • 🧩 初等数学的必学概念（从零开始）
    • 🟦 1. 数与运算基础
    • 🟦 2. 代数初步
    • 🟦 3. 函数与图像
    • 🟦 4. 初等几何
    • 🟦 5. 基础统计与数据概念
  • ✨ 学习建议
• 课程结构
  • 📗 第1单元：数与四则运算
  • 📘 第2单元：代数初步
  • 📙 第3单元：函数与图像
  • 📒 第4单元：初等几何基础
  • 📕 第5单元：基础统计与概率
  • 🎯 学习方式建议：
• 📗 第1单元：数与四则运算
  • 第1单元 第1节：数的分类（Classification of Numbers）
    • 🧱 一、数的家族图（从小到大）
    • 📘 二、每种数具体介绍
      • 1️⃣ 自然数（Natural Numbers）
      • 2️⃣ 整数（Integers）
      • 3️⃣ 有理数（Rational Numbers）
      • 4️⃣ 无理数（Irrational Numbers）
      • 5️⃣ 实数（Real Numbers）
    • 📝 三、例题练习：判断下列属于什么数
    • ✅ 小结：你记住了吗？
    • 📌 下一节预告（第1单元第2节）：
  • 📗 第1单元 第2节：四则运算顺序（运算的优先级）
    • 🎯 一、四则运算的优先级规则
    • 🧪 二、例题演示
      • 例1：
      • 例2：
      • 例3：
      • 例4：
    • 🧱 三、特殊注意点
    • 📝 四、你试试看（练习题）
  • 📗 第1单元 第3节：绝对值与相反数
    • 🧊 一、什么是绝对值？
      • ✅ 定义：
      • 📌 记号：
    • ♻️ 二、什么是相反数？
      • ✅ 定义：
  • 📗 第1单元 第4节：分数与小数的互化 + 运算技巧
    • 🧮 一、分数与小数的互化
      • ✅ 分数变小数（除法）
      • ✅ 小数变分数
        • ✳️ 有限小数 → 分数（直接写）
        • ♾️ 无限循环小数 → 分数（记住几个经典）
    • ➕ 二、分数的加减乘除法则
      • ✅ 分数加减法
      • ✅ 分数乘法
      • ✅ 分数除法
    • 📌 三、约分与通分技巧
      • ✂️ 约分（把分数“缩小”）
      • 🔄 通分（加减前“对齐”分母）
    • 📝 小练习（你试试看）
  • 📗 第1单元 第5节：百分数与比（Ratio & Percent）
    • 🧮 一、什么是百分数（Percent）？
      • ✅ 定义：
      • 📌 示例：
      • 💡 快速记法：
    • 🛒 二、百分数的实际应用
      • 🎯 1. 折扣（打几折？）
      • 🎯 2. 涨价 or 降价（价格变化）
      • 🎯 3. 利息（年利率）
    • 🧊 三、比（Ratio）的概念
      • ✅ 定义：
      • 📌 例子：
      • 🎯 比与总量的应用：
    • 📝 小练习（你试试看）
• 📘 第2单元：代数初步
  • ✅ 第2单元总览
  • 📘 第2单元 第1节：变量与代数式
    • 🔤 一、什么是变量？
    • 🔧 二、代数式的组成
    • 🧠 三、常见代数式例子
    • ✨ 四、代数式的简化规则（初步）
    • 📝 小练习：判断下列表达式的含义
  • 📘 第2单元 第2节：一元一次方程的解法入门
    • 🔍 一、什么是一元一次方程？
      • ✅ 定义：
      • 📌 一元一次方程的标准形式：
    • 🛠️ 二、解方程的基本步骤
      • 📌 例题：解 ( x + 3 = 7 )
        • 步骤 1：让 x 单独一边（移项）
      • 📌 再看一个复杂一点的：
      • 步骤 1：移项（把 −5 移过去）
      • 步骤 2：消除系数（除以 2）
    • 💡 常见操作说明
    • 🧪 三、练习题（解出 x）
  • 📘 🔴重要🔴 第2单元 第3节：指数运算规则（幂运算的世界）
    • 🌱 一、什么是指数？
      • ✅ 基本形式：
      • 📌 含义说明：
    • 📐 二、指数的常用规则（记住这 6 条就够了）
    • 💡 小提醒：
    • 📊 常见例子练习
    • 📝 练习题（请简化结果）
  • 答案：
  • 📘 🔴重要🔴 第2单元 第4节：对数入门（log 的本质）
    • 🌱 一、对数的定义
      • ✅ 基本形式：
      • 📌 举例：
    • 🔁 二、对数与指数的关系
    • 🧮 三、常见对数底数
    • 🔧 四、对数的运算规则（了解即可）
    • 📈 五、对数的图像直观理解
    • 📝 小练习题（求值）
    • 📊 总结评分：
    • 💡 小提示：
  • 🎯补足：关于自然对数In
    • ✅ ln 的全称是：
    • Natural Logarithm
      • ✅ 记号说明：
    • 🔍 为什么叫“自然”对数？
    • 📌 快速对比：
    • 函数 ( y = \ln(x) ) 的图像：
      • 🔍 图像特点说明：
        • 1. ✅ 只在 ( x > 0 ) 区域有定义
        • 2. ✅ ( \ln(1) = 0 )
        • 3. ✅ 随着 x 增加，ln(x) 也在增加，但越来越慢
        • 4. ✅ 当 ( x \to 0^+ )，ln(x) → −∞
        • 5. ✅ 单调递增、无界、但增长很慢
  • 📘 补足：深入理解 ln（自然对数）
    • 🧠 一、ln(x) 的数学本质
      • ✅ 1. 与指数互为“反函数”
      • ✅ 2. ln(x) 的导数
      • ✅ 3. ln(x) 的几何意义（积分）
    • 🔍 二、常见性质总结（实用版）
    • 🧮 三、例题练习
      • ✏️ 例题 1：
      • ✏️ 例题 2：
      • ✏️ 例题 3（应用题）：
    • 🎯 练习题（你来做）
  • 📘 第2单元 第5节：因式分解与公式法则
    • 🧠 一、因式分解是干什么的？
      • 举例：
    • 📚 二、常用代数公式（记住这 3 套）
    • 🧮 三、完全平方公式应用举例
    • 🧊 四、平方差公式应用举例
    • 🔎 五、一般三项式分解法（试凑法）
      • 例子：
    • 📝 六、练习题：请因式分解
  • 🎓 第2单元测验：代数初步（变量、方程、指数、对数、因式分解）
    • ✅ 第一部分：选择题（每题 10 分，共 5 题）
    • ✏️ 第二部分：计算题（每题 10 分，共 5 题）
  • 🧠 指数与对数综合练习（共 10 题）
    • 🔢 基础计算题（每题 10 分）
    • ✏️ 化简题（每题 10 分）
    • 📘 应用与理解题（每题 10 分）
• 🧠 【指数 & 对数】复习小卡片
  • ✅ 一、指数小卡片
    • 📌 基本定义
    • 📐 运算规则
  • ✅ 二、对数小卡片
    • 📌 基本定义
    • 📐 运算规则
    • 🔁 对数 ↔ 指数互换口诀：
  • ✅ 三、常见底数速记
  • ✨ 四、经典值速记

[TOC]

概要

🧩 初等数学的必学概念（从零开始）

🟦 1. 数与运算基础

🟦 2. 代数初步

🟦 3. 函数与图像

🟦 4. 初等几何

🟦 5. 基础统计与数据概念

✨ 学习建议

• 每天学一点，每周复习总结一次
• 可以用图像和例子帮助理解（我可以帮你配图）
• 不必完美掌握，每块能看懂 70% 就足以继续往上学
• 遇到卡住的地方，随时来问我，我可以用图、表、动画例子讲解

课程结构

按“课本章节式”的方式，带你从初等数学系统学习，一步步建立扎实的数学基础。

📗 第1单元：数与四则运算

1.1 数的分类（自然数、整数、有理数、实数）
1.2 四则运算规则（加减乘除的运算顺序）
1.3 绝对值与相反数
1.4 分数与小数的互化
1.5 百分数与比（百分比、折扣、利率）

📘 第2单元：代数初步

2.1 变量与代数式
2.2 一元一次方程的解法
2.3 指数的运算规则
2.4 对数的概念与基本性质
2.5 因式分解与公式法则

📙 第3单元：函数与图像

3.1 函数的基本概念（输入、输出）
3.2 坐标平面与函数图像
3.3 线性函数与一次函数
3.4 二次函数与抛物线
3.5 对数函数与指数函数对比

📒 第4单元：初等几何基础

4.1 点、线、角、角度计算
4.2 三角形与勾股定理
4.3 圆的周长与面积
4.4 常见图形面积与体积
4.5 相似与全等、几何推理

📕 第5单元：基础统计与概率

5.1 平均数、中位数、众数
5.2 简单的柱状图与数据可视化
5.3 概率的定义与基本计算
5.4 样本、实验、事件
5.5 概率游戏与策略分析

🎯 学习方式建议：

每节课我会提供以下内容：

• ✅ 概念讲解（通俗易懂 + 举例）
• ✅ 图示（如有图形部分）
• ✅ 例题带练（你可选择跟做）
• ✅ 小测验（检验理解）

📗 第1单元：数与四则运算

第1单元 第1节：数的分类（Classification of Numbers）

在学数学之前，我们得先搞清楚——“我们在研究什么样的数？”
这节课带你认识所有常用的数的类型，就像认识各种“数字家族成员”。

🧱 一、数的家族图（从小到大）

实数（Real Numbers）
├── 有理数（Rational Numbers）
│   ├── 整数（Integers）
│   │   ├── 自然数（Natural Numbers）
│   │   └── 负整数（-1, -2, ...）
│   └── 分数/有限小数/无限循环小数（如 1/2, 0.25, 0.333...）
└── 无理数（Irrational Numbers）
    └── 不能化为分数的数，如 π、√2、e

📘 二、每种数具体介绍

1️⃣ 自然数（Natural Numbers）

• 最基础的数，用来数数
• 包括：1, 2, 3, 4, 5, …
• 有的教材包括 0，有的除外（我们暂时不算 0）

2️⃣ 整数（Integers）

• 包括：正整数、0、负整数
• 举例：… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …

3️⃣ 有理数（Rational Numbers）

• 可以写成两个整数相除的形式：a/b
• 包括：
  • 所有整数（如 3 = 3/1）
  • 所有分数（如 2/5, -7/8）
  • 有限小数（0.5 = 1/2）
  • 无限循环小数（0.333… = 1/3）

4️⃣ 无理数（Irrational Numbers）

• 不能写成两个整数的比例
• 小数部分无限不循环
• 常见例子：
  • ( \sqrt{2} = 1.41421356… )（无规律地延伸下去）
  • ( \pi = 3.14159… )
  • ( e ≈ 2.718… )

5️⃣ 实数（Real Numbers）

• 所有在数轴上能找到的位置，都是“实数”
• = 有理数 + 无理数

📝 三、例题练习：判断下列属于什么数

✅ 小结：你记住了吗？

📌 下一节预告（第1单元第2节）：

我们将进入 “四则运算的运算顺序”：
加减乘除能乱来吗？先乘除还是先加减？括号怎么处理？负号和绝对值又怎么结合？
我会配图和例子一一讲解！

📗 第1单元 第2节：四则运算顺序（运算的优先级）

这一节我们来解决一个常见但非常重要的问题：

数学表达式里，到底先算谁？加减乘除能随便来吗？括号什么时候处理？

🎯 一、四则运算的优先级规则

我们在数学中遵循这样一个顺序：

括号 → 指数（乘方）→ 乘除 → 加减

记忆口诀：“括指乘除加减”，英文常用缩写是 PEMDAS：

🧪 二、例题演示

例1：

[ 3 + 5 \times 2 = ? ]

按优先级：
先算乘法：(5 \times 2 = 10)
再加法：(3 + 10 = 13)
✅ 答案是：13

例2：

[ (3 + 5) \times 2 = ? ]

有括号，先算括号：(3 + 5 = 8)
然后乘法：(8 \times 2 = 16)
✅ 答案是：16

例3：

[ 12 ÷ 3 \times 2 = ? ]

乘除从左到右：
先 (12 ÷ 3 = 4)
再 (4 \times 2 = 8)
✅ 答案是：8

例4：

[ 8 - 4 + 2 = ? ]

加减也是从左到右：
先 (8 - 4 = 4)，再 (4 + 2 = 6)
✅ 答案是：6

🧱 三、特殊注意点

📝 四、你试试看（练习题）

1. ( 4 + 6 \div 2 =)
2. ( (4 + 6) \div 2 =)
3. ( 7 - 2 \times 3 = )
4. ( (7 - 2) \times 3 = )
5. ( 18 \div 3 \div 2 = )
6. ( 8 + 4 \times (3 - 1) = )

📗 第1单元 第3节：绝对值与相反数

这节课我们来认识两个简单却非常实用的概念：
🔹 绝对值（Absolute Value）
🔹 相反数（Additive Inverse）

🧊 一、什么是绝对值？

✅ 定义：

一个数的绝对值，是它到原点 0 的距离，不考虑方向。

📌 记号：

• 绝对值写作：|a|
• 举例：

  • (

    5

    = 5 )

  • (

    -5

    = 5 )

  • (

    0

    = 0 )

💡 小结：绝对值就是“去掉正负号”

♻️ 二、什么是相反数？

✅ 定义：

相反数是“与原数相加为 0 的另一个数”。

• 举例：
  • 5 的相反数是 −5，因为 (5 + (-5) = 0)
  • −7 的相反数是 7，因为 ( -7 + 7 = 0 )
  • 0 的相反数是它自己：0

📗 第1单元 第4节：分数与小数的互化 + 运算技巧

这一节我们来学习：

• 分数 ↔ 小数 的相互转换
• 有限小数、无限循环小数
• 分数的加减乘除规则
• 运算中的通分、约分技巧

🧮 一、分数与小数的互化

✅ 分数变小数（除法）

分数 = 分子 ÷ 分母

✅ 小数变分数

分两种情况：

✳️ 有限小数 → 分数（直接写）

🧠 记住：
小数点后1位 → 分母是10
小数点后2位 → 分母是100
比如：0.25 = 25/100 = 1/4（约分）

♾️ 无限循环小数 → 分数（记住几个经典）

👉 更复杂的可以用代数法转换（后续进阶再讲）

➕ 二、分数的加减乘除法则

✅ 分数加减法

• 通分 + 加减分子
• 分母相同直接算分子，分母不同先通分

例： [ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ]
[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} ]

✅ 分数乘法

直接乘上下： [ \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} ]

✅ 分数除法

除以一个分数 = 乘以它的倒数： [ \frac{2}{3} ÷ \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9} ]

📌 三、约分与通分技巧

✂️ 约分（把分数“缩小”）

[ \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \quad （同时除以 10） ]

🔄 通分（加减前“对齐”分母）

[ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} ]

📝 小练习（你试试看）

1. ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = )
2. ( \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = )
3. ( \frac{4}{9} ÷ \frac{2}{3} = )
4. 0.75 转为分数 =
5. ( \frac{5}{8} - \frac{1}{4} = )

太好了！我们现在进入：

📗 第1单元 第5节：百分数与比（Ratio & Percent）

这节课将带你掌握生活中经常遇到的概念，比如：

• 折扣 30%
• 利息 2%
• 打折、涨价、数据增长率
• 1:2 的比例代表什么？

这些知识不仅考试常考，更是日常生活和工作中必须掌握的技能！

🧮 一、什么是百分数（Percent）？

✅ 定义：

百分数表示“以 100 为单位的份数”，
通常写作：a%，表示 a/100

📌 示例：

💡 快速记法：

🛒 二、百分数的实际应用

🎯 1. 折扣（打几折？）

• 80% = 打 8 折（只付 80% 的钱）
• 60% = 打 6 折（付 60%，省下 40%）

例：

• 一件衣服原价 200 元，打 8 折：
  (200 × 0.8 = 160) 元

🎯 2. 涨价 or 降价（价格变化）

• 涨价 20% → 乘 1.2
• 降价 30% → 乘 0.7

例：

• 商品原价 100 元，涨价 20%
  (100 × 1.2 = 120) 元

🎯 3. 利息（年利率）

• 如果年利率为 5%，本金是 1000 元
  一年利息是：(1000 × 0.05 = 50) 元

🧊 三、比（Ratio）的概念

✅ 定义：

比（Ratio）是两个数的比较，表示“前者是后者的几倍”

• 写作：1:2、3:5、4:7 等
• 读作：“1 比 2”、“3 比 5”

📌 例子：

🎯 比与总量的应用：

如果一个班级男女比是 3:2，班里有 30 人，
男女各有多少人？

总份数 = 3 + 2 = 5

• 男生 = (30 × \frac{3}{5} = 18)
• 女生 = (30 × \frac{2}{5} = 12)

📝 小练习（你试试看）

1. 80% 转换为分数 =
2. 衣服原价 150 元，打 7 折后多少钱？
3. 男：女 = 2:3，总共 40 人，女有几人？
4. 价格上涨 25%，原价 400 元，涨后多少？
5. 1:4 的混合比例中，水占总量的几分之几？

🎉 至此，第1单元《数与四则运算》我们全部学完啦！
你现在掌握了：

✅ 数的分类
✅ 四则运算顺序
✅ 绝对值与相反数
✅ 分数小数转换与运算
✅ 百分比与比的应用

📘 第2单元：代数初步

从“算具体数”，进入“解未知数”的世界 🧩
本单元的目标是掌握：用字母表示数、列表达式、解方程，为将来的函数与机器学习打好基础。

✅ 第2单元总览

📘 第2单元 第1节：变量与代数式

🔤 一、什么是变量？

• 变量就是可以变化的数，我们用字母来表示它
• 最常用的字母是：x, y, a, b…

🔍 举例：

🔧 二、代数式的组成

代数式通常由以下三部分构成：

🧠 三、常见代数式例子

✨ 四、代数式的简化规则（初步）

📝 小练习：判断下列表达式的含义

1. ( 4x ) 表示什么？
2. ( x + 7 ) 是哪个数的 7 倍？
3. ( 2x + 3x ) 简化后是多少？
4. 用“a 加 b 再乘 2”写一个代数式
5. ( 5(x - 2) ) 展开后是多少？

📘 第2单元 第2节：一元一次方程的解法入门

这是代数的第一大重点：解方程。
我们现在开始学会——如何“找出未知数”。

🔍 一、什么是一元一次方程？

✅ 定义：

一元一次方程是只含一个未知数 x，且次数为 1 的方程。

比如：

[ x + 3 = 7 ]

目标就是：找出哪个 x 可以让等式成立。

📌 一元一次方程的标准形式：

[ ax + b = c ]

其中：

• ( a ) 是 x 的系数（倍数）
• ( b ) 是常数项
• ( c ) 是右边常数

🛠️ 二、解方程的基本步骤

📌 例题：解 ( x + 3 = 7 )

步骤 1：让 x 单独一边（移项）

[ x = 7 - 3 \Rightarrow x = 4 ]

📌 再看一个复杂一点的：

解：( 2x - 5 = 11 )

步骤 1：移项（把 −5 移过去）

[ 2x = 11 + 5 = 16 ]

步骤 2：消除系数（除以 2）

[ x = 16 ÷ 2 = 8 ]

✅ 解得：( x = 8 )

💡 常见操作说明

🧪 三、练习题（解出 x）

1. ( x + 5 = 12 )
2. ( 3x = 15 )
3. ( 2x - 3 = 9 )
4. ( 4x + 2 = 3x + 9 )
5. ( 6 - x = 10 )

📘 🔴重要🔴 第2单元 第3节：指数运算规则（幂运算的世界）

这一节我们将学习指数（幂）的基本概念和运算规则。

🌱 一、什么是指数？

✅ 基本形式：

[ a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n\text{ 个 a 相乘}} ]

• a：底数（base）
• n：指数或幂（exponent or power）
• 读作 “a 的 n 次方”

📌 含义说明：

[ 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8 ]

[ 5^2 = 5 × 5 = 25 ]

[ 10^1 = 10 ]

[ x^4 = x × x × x × x ]

📐 二、指数的常用规则（记住这 6 条就够了）

💡 小提醒：

• 零次方不是 0，是 1！（除了 0^0 这个例外）
• 负指数代表倒数！

📊 常见例子练习

📝 练习题（请简化结果）

1. ( 2^4 = )
2. ( 3^0 = )
3. ( x^2 \cdot x^3 = )
4. ( \frac{5^6}{5^2} = )
5. ( (2^2)^3 = )
6. ( a^{-2} = )

答案：

1. ( 2^4 = 16)
2. ( 3^0 = 1)
3. ( x^2 \cdot x^3 = x^5)
4. ( \frac{5^6}{5^2} = 5^4)
5. ( (2^2)^3 = 64)
6. ( a^{-2} = 1/a^2)

📘 🔴重要🔴 第2单元 第4节：对数入门（log 的本质）

对数是“指数的逆操作”，是计算机科学、机器学习、信息论的核心概念之一。今天我们从头讲清楚：

🌱 一、对数的定义

✅ 基本形式：

[ \log_b a = c \quad \Longleftrightarrow \quad b^c = a ]

意思是：底数 b 的几次方 = a？

📌 举例：

🔁 二、对数与指数的关系

🧠 口诀记忆：

log 的答案就是：“几次方”

🧮 三、常见对数底数

🔧 四、对数的运算规则（了解即可）

📈 五、对数的图像直观理解

• log 函数增长非常缓慢
• 比如：
  • ( \log_2 8 = 3 )，而 ( 2^3 = 8 )
  • ( \log_2 1024 = 10 )，但 1024 已经很大！

这也是为什么算法复杂度 O(log n) 被认为很快 🚀

📝 小练习题（求值）

1. ( \log_2 16 = )
2. ( \log_{10} 100 = )
3. ( \log_5 25 = )
4. ( \log_2 \frac{1}{8} = ) 　⭐️这个错了的
5. ( \log_3 1 = )

📊 总结评分：

🎯 正确 4 题 / 5 题，得分 40 / 50
表现很棒！只错了一题，而且是理解方向搞错，不是计算错误。

💡 小提示：

• 如果 ( \log_b a ) 的结果是负数，说明 ( a ) 是 小于 1 的数
• 所以 ( \log_2(1/8) = -3 )，因为 ( 2^{-3} = 1/8 )

🎯补足：关于自然对数In

✅ ln 的全称是：

Natural Logarithm

中文：自然对数

✅ 记号说明：

• ln x 是对数的一种特殊形式
• 它的底数是一个著名的数学常数：e ≈ 2.71828

[ \ln x = \log_e x ]

🔍 为什么叫“自然”对数？

• 因为它在自然界和数学中无处不在：
  • 指数增长（如细菌繁殖、复利利息）
  • 微积分中对数函数的导数是最简洁的 [ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} ]
  • 在机器学习、信息论中常用 ( \ln ) 来计算熵（entropy）与交叉熵损失（cross-entropy）

📌 快速对比：

函数 ( y = \ln(x) ) 的图像：

🔍 图像特点说明：

1. ✅ 只在 ( x > 0 ) 区域有定义

• 因为对数不能对 0 或负数取值：( \ln(0) ) 和 ( \ln(-1) ) 都是无效的
• 所以图像永远不碰到 y 轴左边

2. ✅ ( \ln(1) = 0 )

• 图像经过点 ( (1, 0) )
• 因为 ( e^0 = 1 )，所以 ( \ln(1) = 0 )

3. ✅ 随着 x 增加，ln(x) 也在增加，但越来越慢

• 曲线逐渐“变平”，说明它是增长缓慢的函数
• 这就是为什么很多复杂度为 ( O(\log n) ) 的算法很快（增长慢）

4. ✅ 当 ( x \to 0^+ )，ln(x) → −∞

• 也就是靠近 x = 0 的时候，函数值会变得非常小（趋近于负无穷）

5. ✅ 单调递增、无界、但增长很慢

• 比如：
  • ( \ln(10) \approx 2.3 )
  • ( \ln(1000) \approx 6.9 )

太好了！我们现在来进一步探索自然对数 ( \ln x ) 的核心性质、几何意义，以及它在实际问题中的应用，并配上例题练习。

📘 补足：深入理解 ln（自然对数）

🧠 一、ln(x) 的数学本质

✅ 1. 与指数互为“反函数”

[ \ln(e^x) = x \quad\text{（对数还原指数）} ]
[ e^{\ln x} = x \quad\text{（指数还原对数）} ]

✅ 2. ln(x) 的导数

[ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \quad (x > 0) ]

这说明 ln(x) 的增长速度是随着 x 变大而减慢的。

✅ 3. ln(x) 的几何意义（积分）

[ \ln x = \int_1^x \frac{1}{t} dt ]

→ 也就是说，ln(x) 是曲线 ( y = \frac{1}{x} ) 从 1 到 x 之间的“面积”。

🔍 二、常见性质总结（实用版）

🧮 三、例题练习

✏️ 例题 1：

已知 ( \ln 2 = 0.693 )，( \ln 3 = 1.098 )，计算：
[ \ln 6 = ? ]

解：

[ \ln 6 = \ln(2 \times 3) = \ln 2 + \ln 3 = 0.693 + 1.098 = \boxed{1.791} ]

✏️ 例题 2：

化简表达式：
[ \ln\left(\frac{x^2}{y}\right) ]

解：

[ = \ln(x^2) - \ln y = 2\ln x - \ln y ]

✏️ 例题 3（应用题）：

某种细菌每小时以指数速度增长，总量为： [ N(t) = 100 \cdot e^{0.4t} ]

问：经过多久数量变成 200？

解： [ 200 = 100 \cdot e^{0.4t} \Rightarrow \frac{200}{100} = e^{0.4t} \Rightarrow 2 = e^{0.4t} \Rightarrow \ln 2 = 0.4t \Rightarrow t = \frac{\ln 2}{0.4} ≈ \frac{0.693}{0.4} ≈ \boxed{1.7325} \text{ 小时} ]

🎯 练习题（你来做）

1. 已知 ( \ln 5 = 1.609 )，( \ln 2 = 0.693 )，求：
   ( \ln 10 = ? )

2. 化简：( \ln(\sqrt{x}) )

3. 化简：( \ln\left(\frac{a^3 b}{c^2}\right) )

4. 解方程：( \ln x = 2 )，求 x（保留 e 形式）

5. 某金额按照公式 ( A = 500 \cdot e^{0.05t} ) 增长，问何时变为 1000？

📘 第2单元 第5节：因式分解与公式法则

这一节的目标是：
👉 掌握几个核心代数公式
👉 学会如何将多项式拆成乘积形式，也就是“因式分解”

🧠 一、因式分解是干什么的？

因式分解 = 把多项式“拆成乘法形式”，是展开的逆过程。

举例：

• 展开是： [ (x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6 ]

• 那么因式分解就是： [ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) ]

📚 二、常用代数公式（记住这 3 套）

🧮 三、完全平方公式应用举例

判断口诀：

• 首尾是完全平方数（如 ( x^2 ), ( 9 )）
• 中间项是：两数乘积 ×2 （2 × x × 3 = 6x）

🧊 四、平方差公式应用举例

🔎 五、一般三项式分解法（试凑法）

例子：

[ x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) ]

判断方法：

• 找两个数，使它们：
  • 相加 = 中间项（7）
  • 相乘 = 常数项（12）

📝 六、练习题：请因式分解

1. ( x^2 + 6x + 9 )
2. ( x^2 - 49 )
3. ( x^2 + 5x + 6 )
4. ( a^2 + 2a + 1 )
5. ( 9x^2 - 16 )

太棒了！📘我们来做一个完整的：

🎓 第2单元测验：代数初步（变量、方程、指数、对数、因式分解）

共 10 题（选择题 5 题 + 计算题 5 题），满分 100 分。
每题 10 分，考查你这一单元掌握的核心知识！

✅ 第一部分：选择题（每题 10 分，共 5 题）

1️⃣ 下列哪一个等式是正确的指数法则？
A. ( a^m \cdot a^n = a^{mn} )
B. ( a^m \cdot a^n = a^{m+n} )
C. ( a^m + a^n = a^{m+n} )
D. ( a^m - a^n = a^{m-n} )

2️⃣ 下列哪个表达式是“平方差公式”的展开结果？
A. ( x^2 + 2x + 1 )
B. ( x^2 - 2x + 1 )
C. ( x^2 - 9 )
D. ( x^2 + 6x + 9 )

3️⃣ ( \ln(e^3) = ) 的值是：
A. 3
B. ( e^3 )
C. 0
D. 无法确定

4️⃣ 下列哪个是 ( (x + 2)^2 ) 展开后的正确结果？
A. ( x^2 + 2 )
B. ( x^2 + 4x + 4 )
C. ( x^2 + 2x + 2 )
D. ( x^2 + 2x + 4 )

5️⃣ 方程 ( 2x + 5 = 13 ) 的解是：
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

✏️ 第二部分：计算题（每题 10 分，共 5 题）

6️⃣ 解方程：( 3x - 7 = 11 )

7️⃣ 计算 ( \frac{2^5}{2^2} )

8️⃣ 因式分解：( x^2 + 10x + 25 )

9️⃣ 化简表达式：( \ln(a^3) - \ln(a) )

🔟 因式分解：( 4x^2 - 9 )

答案：

1. B
2. B

   2️⃣ ❌ 正确应是：C
   平方差公式是：
   [ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \Rightarrow x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) ]
   你选的是 B（是平方公式，不是平方差）
   ✖️ 得分：0 分

3. A
4. B
5. B
6. 6
7. 8
8. (x+5)^2
9. 2ln(a)
10. (2x+3)(2x-3)

🧠 指数与对数综合练习（共 10 题）

🔢 基础计算题（每题 10 分）

1️⃣ 计算：( 2^5 = )
2️⃣ 计算：( 10^{-2} = )
3️⃣ 计算：( \log_2 32 = )
4️⃣ 化简：( \log_3(27) + \log_3(3) )

✏️ 化简题（每题 10 分）

5️⃣ 化简：( \log_2\left( \frac{8}{4} \right) )
6️⃣ 化简：( \log_b(x^4) - \log_b(x) )
7️⃣ 化简：( (3^x)^2 )
8️⃣ 化简：( \log_5(25 \cdot 5) )

📘 应用与理解题（每题 10 分）

9️⃣ 解出 x：若 ( \log_2 x = 6 )，则 x = ?
🔟 解出 x：若 ( 3^x = 81 )，则 x = ?

答案：

1. 32
2. 1/100
3. 5
4. 4
5. 1
6. 3log_b(x)
7. 3^(2x)
8. 3
9. 64
10. 4

🧠 【指数 & 对数】复习小卡片

✅ 一、指数小卡片

📌 基本定义

[ a^n = a \times a \times \dots \times a \quad (n\text{个 a}) ]

📐 运算规则

✅ 二、对数小卡片

📌 基本定义

[ \log_b a = c \quad \Longleftrightarrow \quad b^c = a ]

对数的结果是：“几次方等于这个数”

📐 运算规则

🔁 对数 ↔ 指数互换口诀：

• (\log_b a = c \quad \Leftrightarrow \quad b^c = a)
• (\ln(e^x) = x)，  (e^{\ln x} = x)

✅ 三、常见底数速记

✨ 四、经典值速记