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概要

🧩 初等数学的必学概念（从零开始）

🟦 1. 数与运算基础

概念	解释
自然数、整数、有理数、实数	数字的分类
四则运算	加、减、乘、除的运算法则
运算顺序（括号优先）	PEMDAS 原则（括号-指数-乘除-加减）
绝对值	表示一个数与 0 的距离，如	−3	= 3
分数与小数	分数转换小数、无限循环小数
百分比	利息、增长率、折扣等场景常用，例：30% = 0.3

🟦 2. 代数初步

概念	解释
变量与代数式	用字母表示未知数（如：x + 2 = 5）
解方程	一元一次方程、一元二次方程的解法
指数运算	(2^3 = 8)，指数规则 (a^m \cdot a^n = a^{m+n})
对数概念	log 是指数的“反函数”，如 ( \log_2(8) = 3 )
括号展开与因式分解	(x+1)(x+2) 展开为 ( x^2+3x+2 )，反过来叫“因式分解”

🟦 3. 函数与图像

概念	解释
函数概念	每个输入 x 有唯一输出 y，y = f(x)
常见函数类型	线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、分段函数
坐标系与图像	在 x-y 平面画出函数图像
函数增长趋势	上升/下降、凹/凸、是否快速增长（如 log vs exp）

🟦 4. 初等几何

概念	解释
点、线、角、三角形	基础图形、角度计算、勾股定理
圆的半径、直径、周长、面积	( C = 2\pi r ), ( A = \pi r^2 )
面积与体积公式	矩形、圆、立方体、圆柱等常见形体
相似与全等	比例放大/缩小，几何推理基础

🟦 5. 基础统计与数据概念

概念	解释
平均数、中位数、众数	最基本的数据代表值
数据可视化	画柱状图、折线图、饼图
概率入门	掷骰子、抽卡、选人的基础概率计算

✨ 学习建议

每天学一点，每周复习总结一次
可以用图像和例子帮助理解（我可以帮你配图）
不必完美掌握，每块能看懂 70% 就足以继续往上学
遇到卡住的地方，随时来问我，我可以用图、表、动画例子讲解

课程结构

按“课本章节式”的方式，带你从初等数学系统学习，一步步建立扎实的数学基础。

📗 第1单元：数与四则运算

1.1 数的分类（自然数、整数、有理数、实数）
1.2 四则运算规则（加减乘除的运算顺序）
1.3 绝对值与相反数
1.4 分数与小数的互化
1.5 百分数与比（百分比、折扣、利率）

📘 第2单元：代数初步

2.1 变量与代数式
2.2 一元一次方程的解法
2.3 指数的运算规则
2.4 对数的概念与基本性质
2.5 因式分解与公式法则

📙 第3单元：函数与图像

3.1 函数的基本概念（输入、输出）
3.2 坐标平面与函数图像
3.3 线性函数与一次函数
3.4 二次函数与抛物线
3.5 对数函数与指数函数对比

📒 第4单元：初等几何基础

4.1 点、线、角、角度计算
4.2 三角形与勾股定理
4.3 圆的周长与面积
4.4 常见图形面积与体积
4.5 相似与全等、几何推理

📕 第5单元：基础统计与概率

5.1 平均数、中位数、众数
5.2 简单的柱状图与数据可视化
5.3 概率的定义与基本计算
5.4 样本、实验、事件
5.5 概率游戏与策略分析

🎯 学习方式建议：

每节课我会提供以下内容：

✅ 概念讲解（通俗易懂 + 举例）
✅ 图示（如有图形部分）
✅ 例题带练（你可选择跟做）
✅ 小测验（检验理解）

📗 第3单元：函数与图像入门

本单元将帮助你建立“函数思维”：

什么是函数？怎么表示？

怎么画出函数图像？

了解一次函数、二次函数（抛物线）、指数函数、对数函数的图像和变化趋势。

📘 第3单元章节预览

章节编号	内容	学习重点
3-1️⃣	什么是函数？如何用图像表示？	映射、输入输出、坐标系
3-2️⃣	一次函数（直线）的表达与图像	斜率、截距、线性关系
3-3️⃣	二次函数（抛物线）的图像与变化	顶点、对称轴、开口方向
3-4️⃣	指数函数图像（增长）	快速增长、x 趋近时的变化趋势
3-5️⃣	对数函数图像（缓慢增长）	与指数函数的关系、log 特性图像理解

📘 第3单元第1节：什么是函数？如何用图像表示？

🧠 一、函数的定义（通俗版）

函数就是一种“输入 → 输出”的规则，
每个输入（x）都有一个唯一的输出（y）

✅ 数学表示法：

[ y = f(x) ]

( f )：函数名，常常用 f、g、h
( x )：自变量（输入）
( y )：因变量（输出）

🧃 生活中的例子：

输入 x（投入）	输出 y（结果）	函数说明
工人小时数	工资总额	( y = 100x )（每小时100元）
天数	累计存款	( y = 10x + 100 )（每天+10）
气温	冰淇淋销量	( y = f(x) )（关系可能非线性）

📊 二、函数的表示方式（有 3 种）

表示方式	举例
✅ 解析式	( y = 2x + 1 )（最常见）
✅ 表格	输入 x = 1, 2, 3 → y = 3, 5, 7
✅ 图像	在平面坐标系中画出点和曲线或直线

📐 三、坐标系基础：横轴 x，纵轴 y

函数图像是“所有 ( (x, f(x)) )” 的点的集合
我们画图时会将每个输入-输出对表示为一个点：

[ x = 1 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow 点 (1, 3) ]

🧮 四、例子：函数 ( y = 2x + 1 )

x	y = 2x + 1
−1	−1
0	1
1	3
2	5
3	7

→ 把这些点画在平面图上，就是一条直线（一次函数）

✏️ 五、练习题（写出 y 的值）

已知函数 ( y = 3x - 2 )，请填出 y：

x	y = 3x - 2
−1	?
0	?
1	?
2	?
3	?

答案: -5 -2 1 4 7

##📘 第3单元第2节：一次函数的图像与变化规律

✅ 一、一次函数的标准形式：

[ y = mx + b ]

( m )：斜率（slope）——控制倾斜程度
( b )：截距（intercept）——图像穿过 y 轴的位置（当 ( x = 0 ) 时）

📈 示例 1：( y = 2x + 1 )

x	y	点坐标
−1	−1	(−1, −1)
0	1	(0, 1)
1	3	(1, 3)
2	5	(2, 5)

✅ 是一条向右上方倾斜的直线

✅ 斜率 m 是什么？

[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} ]

意思是：x 每增加 1，y 增加多少？

如果 ( m > 0 )：向上斜
如果 ( m < 0 )：向下斜
如果 ( m = 0 )：水平线

✅ 截距 b 是什么？

当 ( x = 0 ) 时的 y 值 → 图像与 y 轴的交点
例：( y = 2x + 1 )，当 ( x = 0 \Rightarrow y = 1 )，所以 y 轴交于 (0, 1)

🧠 快速判断图像形状：

函数	斜率 m	截距 b	特点
( y = 2x + 1 )	+2	1	向右上升
( y = -3x + 4 )	−3	4	向右下降，穿过 (0, 4)
( y = 0x + 2 )	0	2	水平线
( y = x )	1	0	过原点，倾斜45°

✏️ 练习题（判断斜率 & 截距 & 性质）

给定函数 ( y = -2x + 5 )，请回答：

斜率 m = ?
截距 b = ?
这条直线是向上倾斜还是向下？
当 ( x = 0 )，y = ?
当 ( x = 2 )，y = ?

答案:
-2
5
下
5
1

📘 第3单元第3节：二次函数与抛物线图像

🧠 一、什么是二次函数？

二次函数的标准形式是：

[ y = ax^2 + bx + c ]

( a, b, c )：都是常数（( a ≠ 0 )）
图像一定是抛物线（parabola）

✅ 关键性质：

元素	含义
顶点	抛物线的最高或最低点
开口方向	由 ( a ) 决定，a > 0 向上，a < 0 向下
对称轴	通过顶点的竖直线，公式如下
y 截距	当 ( x = 0 ) 时的 y 值（即常数项 c）

📐 二、顶点与对称轴的公式

给出函数：
[ y = ax^2 + bx + c ]

✅ 顶点横坐标公式：

[ x_{\text{顶点}} = -\frac{b}{2a} ]

再把这个 x 代入原式，算出 y

✅ 对称轴：

[ x = -\frac{b}{2a} \quad \text{（就是顶点的 x）} ]

✅ 开口方向：

若 ( a > 0 ) → 开口向上（“笑脸”😊）
若 ( a < 0 ) → 开口向下（“苦脸”☹️）

🧪 三、例题演示

例：函数 ( y = x^2 - 4x + 3 )

a = 1, b = −4, c = 3
顶点 x： [ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 ]
顶点 y： [ y = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 ]
所以顶点坐标为：(2, −1)
开口向上 ✅

✏️ 四、练习题

给定函数 ( y = -x^2 + 4x + 1 )

请你回答：

a, b, c 分别是多少？
顶点的 x 坐标是？
顶点的 y 坐标是？
对称轴是？
开口方向是向上还是向下？

答案：
-1,4,1
2
5
x=2
向下

📘 第3单元第4节：指数函数图像与变化趋势

✅ 一、什么是指数函数？

指数函数的一般形式：

[ y = a^x \quad (a > 0, a \ne 1) ]

( x ) 是指数，a 是底数
图像表示的是“底数 a 的 x 次方”的增长过程

📈 二、图像的基本特点（以 ( y = 2^x ) 为例）

特征	说明
恒大于 0	( y = a^x > 0 )（永不为负）
增长迅速	( x ) 增大时，y 快速变大
渐近于 x 轴	当 ( x \to -\infty )，y → 0
过点 ( (0, 1) )	因为 ( a^0 = 1 )

🧠 快速比较：

函数	类型	特征
( y = 2^x )	指数增长	非常快（翻倍式）
( y = x )	线性增长	稳定直线
( y = \log x )	对数增长	非常慢（越长越平）

🪜 三、几组典型值（以 ( y = 2^x ) 为例）

x	( 2^x )	解释
−2	0.25	( 1/4 )
−1	0.5	( 1/2 )
0	1	( 2^0 = 1 )
1	2
2	4
3	8
10	1024	急速上升 🚀

📈 四、常见指数函数图像形状

函数形式	图像特点
( y = 2^x )	过 (0,1)，向右爆炸性上升
( y = 0.5^x )	过 (0,1)，向右迅速下降（指数衰减）

✏️ 五、练习题（填空）

( 3^0 = )
( 2^{-3} = )
( y = 2^x ) 中，当 x = −2 时，y = ?
指数函数 ( y = 2^x ) 的图像是否过点 (0, 1)？
哪个增长更快？( y = 2^x ) vs ( y = x )

1
1/8
1/4
yes
(y=2^x)

📊 图像解读：指数 vs 线性 vs 对数

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🔵 蓝色曲线：( y = 2^x )（指数函数）

快速上升（越往右增长越快）
爆炸式增长

🟠 橙色虚线：( y = x )（线性函数）

均匀上升，每次增加一样多
图像是一条直线

🟢 绿色点划线：( y = \log_2 x )（对数函数）

增长很慢
越往右上升越平缓
在 ( x = 1 ) 处过点 (1, 0)
是指数函数 ( y = 2^x ) 的反函数

🔁 直观总结

特征	指数 ( y = 2^x )	线性 ( y = x )	对数 ( y = \log_2 x )
初期增长	慢	均匀	快（从无穷负值冲上来）
长期增长	快速爆炸	稳定线性	越来越慢（趋于平坦）
x 趋近 0 行为	→ 0（右下角）	→ 0	→ −∞（左下掉）

📘 什么是 Sigmoid 函数？

✅ 定义：

Sigmoid 是一个S 形的平滑曲线函数，公式如下：

[ \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} ]

它将任何实数输入 ( x ) 映射到 ( (0, 1) ) 区间
是一种压缩函数（squashing function）

🎯 为什么叫 “Sigmoid”？

“Sigmoid” 来自拉丁语 “sigmoides”，意思是“像 S 的形状”
图像曲线呈现一个平滑的 S 形弯曲

📈 图像特点

特征	数值表现
函数值范围	( 0 < \sigma(x) < 1 )
中心点	( \sigma(0) = 0.5 )
左侧极限	( x \to -\infty \Rightarrow \sigma(x) \to 0 )
右侧极限	( x \to +\infty \Rightarrow \sigma(x) \to 1 )
对称性	关于原点对称（偶函数）

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这是 Sigmoid 函数 ( \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} ) 的图像 ✅

📈 图像解读：

📍 中点： ( x = 0 ) 时，( \sigma(x) = 0.5 )（图中橙色虚线标出）
📈 右侧趋势： x 越大，σ(x) 趋近于 1（但永远不会等于 1）
📉 左侧趋势： x 越小，σ(x) 趋近于 0
🌟 曲线光滑、连续且单调递增（始终上升）

✨ 动态变化理解：

小 x → σ(x) 接近 0（概率低）
x = 0 → σ(x) = 0.5（最不确定）
大 x → σ(x) 接近 1（概率高）

🤖 在机器学习中的作用

应用场景	说明
Logistic 回归	将模型输出转换为概率（分类）
神经网络激活函数	控制神经元的输出在 0 和 1 之间，避免爆炸或消失
概率建模	理解为“属于类别1的概率”，适用于二分类问题

🧠 直观理解：

输入 ( x = 0 ) → 输出 0.5（最不确定）
( x \gg 0 ) → 接近 1（非常可能）
( x \ll 0 ) → 接近 0（非常不可能）

🧪 示例：

x	( \sigma(x) )
−3	≈ 0.047
−1	≈ 0.268
0	0.5
1	≈ 0.731
3	≈ 0.953

📉 和对数的关系

Sigmoid 是logistic 函数，其反函数就是 logit 函数：

[ \text{logit}(p) = \log\left(\frac{p}{1 - p}\right) ]

→ 用于将概率转换回 logits（线性模型输出）

📗 第3单元总结：函数与图像入门

✅ 一、核心概念总览

概念	关键词	图像特征
函数	输入 → 输出	每个 x 对应唯一 y
一次函数	( y = mx + b )	直线，斜率决定倾斜，b 为截距
二次函数	( y = ax^2 + bx + c )	抛物线，开口方向由 a 决定
指数函数	( y = a^x )	快速增长，过 (0, 1)
对数函数	( y = \log_a x )	缓慢增长，过 (1, 0)，反函数为指数

✅ 二、图像比较回顾

类型	增长速度	开始点	特殊点
一次函数	均匀	拟线性（可上/下）	y = x 过原点
二次函数	抛物线	有最小/最大值	顶点公式 ( x = -\frac{b}{2a} )
指数函数	非常快	慢起快上	( y = a^x )，过 (0, 1)
对数函数	非常慢	快起慢上	( y = \log_a x )，过 (1, 0)

✅ 三、常见形式小抄

函数类型	通用形式	关键点
一次函数	( y = mx + b )	斜率 m，截距 b
二次函数	( y = ax^2 + bx + c )	顶点 ( x = -\frac{b}{2a} )
指数函数	( y = a^x )	快速增长，永远 > 0
对数函数	( y = \log_a x )	非常慢，x 趋近 0 时 → −∞

✍️ 第3单元综合测验（总分 100 分）

✅ 选择题（每题 10 分，共 5 题）

1️⃣ 下列哪一个函数图像是抛物线？
A. ( y = 2x )
B. ( y = x^2 - 4x + 3 )
C. ( y = 2^x )
D. ( y = \log_2 x )

2️⃣ 函数 ( y = 3x - 2 ) 的斜率是多少？
A. 3
B. −2
C. 1
D. 无法确定

3️⃣ 指数函数 ( y = 2^x ) 的图像通过哪个点？
A. (1, 2)
B. (0, 0)
C. (1, 1)
D. (0, 2)

4️⃣ 对数函数 ( y = \log_2 x ) 在 x → 0⁺ 时趋近于？
A. 1
B. −∞
C. ∞
D. 0

5️⃣ 函数 ( y = -x^2 + 4x + 1 ) 的顶点横坐标是？
A. 2
B. −2
C. 1
D. 0

✅ 计算与判断题（每题 10 分，共 5 题）

6️⃣ 给定函数 ( y = 2x + 3 )，当 x = 4 时，y = ?

7️⃣ 判断函数 ( y = 2^x ) 和 ( y = \log_2 x ) 是否在点 (1, 1) 相交？说明理由。

8️⃣ 二次函数 ( y = x^2 - 6x + 8 ) 的顶点坐标是？

9️⃣ ( \log_2(1/8) = ? )

🔟 从图像上看：哪个函数增长得比一次函数快？
A. 对数函数 B. 常数函数 C. 二次函数 D. 指数函数

答题：

B
A
A
B
A
11
不相交，两个函数本身都不通过(1,1)
(3,-1)
-3
D

Haste makes waste

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