• 概要
  • 🧩 初等数学的必学概念（从零开始）
    • 🟦 1. 数与运算基础
    • 🟦 2. 代数初步
    • 🟦 3. 函数与图像
    • 🟦 4. 初等几何
    • 🟦 5. 基础统计与数据概念
  • ✨ 学习建议
• 课程结构
  • 📗 第1单元：数与四则运算
  • 📘 第2单元：代数初步
  • 📙 第3单元：函数与图像
  • 📒 第4单元：初等几何基础
  • 📕 第5单元：基础统计与概率
  • 🎯 学习方式建议：
• 📘 第4单元：实用几何与图形推理
  • 🧭 第4单元章节预览
• 📘 第4单元 第1节：点、线、角与角度基础
  • ✅ 一、基本术语
  • 📐 二、角度单位
    • ✅ 度（°）
  • 🧠 三、常见角度关系
  • 🧩 图示（文字版）
  • ✏️ 练习题（每题 1 空，简单热身）
• 📘 第4单元 第2节：三角形的类型与边角关系
  • ✅ 一、三角形的基本构成
  • 📚 二、按角分类
  • 📐 三、按边分类
  • 🧠 四、常见定理和性质
    • 1️⃣ 三角形内角和：
    • 2️⃣ 较长的边对较大的角
    • 3️⃣ 任意两边之和 > 第三边
  • ✏️ 五、练习题（判断&计算）
• 📘 第4单元 第3节：圆的基本性质与公式应用
  • ✅ 一、圆的基本组成
  • 🧮 二、常用公式
  • 📐 三、π 是什么？
  • 🌰 四、例题演示（以 r = 5）
  • ✏️ 五、练习题（计算题）
• 📘 第4单元 第4节：四边形与多边形的角度和推理
  • ✅ 一、四边形的基本种类
  • 📐 二、四边形的内角和公式
  • 🧮 三、多边形的内角和 & 外角和
    • ✅ 多边形内角和公式：
    • ✅ 每个内角（正多边形）：
    • ✅ 外角和恒为：
  • 🌰 四、例子演示
  • ✏️ 五、练习题（填空计算题）
• 📘 第4单元 第5节：几何推理与辅助线技巧
  • ✅ 一、什么是几何推理？
  • 🧠 二、核心技巧整理
  • 📐 三、常见辅助线套路
  • ✏️ 四、练习题（纯文字推理）
• 📘 什么是外角（Exterior Angle）？
  • ✅ 定义：
    • 🔍 图示说明（文字版）：
  • ✅ 外角的几个重要性质：
    • 1. 内角 + 外角 = 180°（在同一直线上）
    • 2. 一个多边形所有外角的和恒等于 360°
    • 3. 正多边形中，每个外角相等：
    • 🌰 举个例子：
    • ✅ 应用场景：
• 📘 第4单元总结：实用几何与图形推理
  • ✅ 一、核心知识回顾
    • 🟢 第1节：点、线、角
    • 🔵 第2节：三角形的种类与性质
    • 🟡 第3节：圆的性质与计算
    • 🟠 第4节：多边形的角度规律
    • 🔴 第5节：几何推理技巧
• 📝 第4单元 综合测验（总分 100 分）
  • ✅ 选择题（每题 10 分，共 5 题）
  • ✏️ 填空题（每题 10 分，共 5 题）

[TOC]

概要

🧩 初等数学的必学概念（从零开始）

🟦 1. 数与运算基础

🟦 2. 代数初步

🟦 3. 函数与图像

🟦 4. 初等几何

🟦 5. 基础统计与数据概念

✨ 学习建议

• 每天学一点，每周复习总结一次
• 可以用图像和例子帮助理解（我可以帮你配图）
• 不必完美掌握，每块能看懂 70% 就足以继续往上学
• 遇到卡住的地方，随时来问我，我可以用图、表、动画例子讲解

课程结构

按“课本章节式”的方式，带你从初等数学系统学习，一步步建立扎实的数学基础。

📗 第1单元：数与四则运算

1.1 数的分类（自然数、整数、有理数、实数）
1.2 四则运算规则（加减乘除的运算顺序）
1.3 绝对值与相反数
1.4 分数与小数的互化
1.5 百分数与比（百分比、折扣、利率）

📘 第2单元：代数初步

2.1 变量与代数式
2.2 一元一次方程的解法
2.3 指数的运算规则
2.4 对数的概念与基本性质
2.5 因式分解与公式法则

📙 第3单元：函数与图像

3.1 函数的基本概念（输入、输出）
3.2 坐标平面与函数图像
3.3 线性函数与一次函数
3.4 二次函数与抛物线
3.5 对数函数与指数函数对比

📒 第4单元：初等几何基础

4.1 点、线、角、角度计算
4.2 三角形与勾股定理
4.3 圆的周长与面积
4.4 常见图形面积与体积
4.5 相似与全等、几何推理

📕 第5单元：基础统计与概率

5.1 平均数、中位数、众数
5.2 简单的柱状图与数据可视化
5.3 概率的定义与基本计算
5.4 样本、实验、事件
5.5 概率游戏与策略分析

🎯 学习方式建议：

每节课我会提供以下内容：

• ✅ 概念讲解（通俗易懂 + 举例）
• ✅ 图示（如有图形部分）
• ✅ 例题带练（你可选择跟做）
• ✅ 小测验（检验理解）

📘 第4单元：实用几何与图形推理

本单元将帮助你掌握：

• 基本几何图形（点、线、角、三角形、圆等）
• 常用公式（面积、周长、体积）
• 推理与证明（角度计算、相似全等等）
• 实际应用题（地图测量、布局计算）

🧭 第4单元章节预览

📘 第4单元 第1节：点、线、角与角度基础

✅ 一、基本术语

📐 二、角度单位

✅ 度（°）

• 圆周 = 360°
• 直角 = 90°
• 平角 = 180°
• 周角 = 360°
• 钝角：90°～180°，锐角：小于90°

🧠 三、常见角度关系

🧩 图示（文字版）

      A
     / \
    /   \
   /     \
B/_______\C

∠ABC 就是以 B 为顶点的角

✏️ 练习题（每题 1 空，简单热身）

1. 一个直角有 ___ 度
2. 两条直线相交，产生了 4 个角，其中对顶角一定 ___
3. 如果 ∠A + ∠B = 180°，那么这两个角是 ___
4. 锐角一定小于 ___ 度
5. 如果 ∠X = 40°，它的余角是 ___ 度

1. 90
2. 相等
3. 互补
4. 90
5. 50

📘 第4单元 第2节：三角形的类型与边角关系

✅ 一、三角形的基本构成

• 三角形由 三条边 和 三个角 组成
• 角度总和恒为： [ \boxed{180^\circ} ]

📚 二、按角分类

📐 三、按边分类

🧠 四、常见定理和性质

1️⃣ 三角形内角和：

[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ ]

2️⃣ 较长的边对较大的角

例如：

• 边 AB > AC，则对应的角 ∠C > ∠B

3️⃣ 任意两边之和 > 第三边

（三角形成立条件）

✏️ 五、练习题（判断&计算）

1. 一个三角形内有两个角分别是 40° 和 60°，第三个角是 ___°
2. 一个三角形边长为 3, 4, 5，它是直角三角形吗？___
3. 判断三角形是否成立：边长 2, 3, 6 → 是否成立？___
4. 等腰三角形的两个底角是 70°，顶角是 ___°
5. 判断：一个三角形中最长的边一定对着 ___角

1. 80
2. 是
3. 不成立
4. 40
5. 最大

📘 第4单元 第3节：圆的基本性质与公式应用

✅ 一、圆的基本组成

🧮 二、常用公式

📐 三、π 是什么？

[ \pi \approx 3.14 ]

是圆的周长 / 直径的常数比值，无论圆大小都一样！

🌰 四、例题演示（以 r = 5）

• 周长：( 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31.4 )
• 面积：( \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 78.5 )
• 扇形 90° 弧长：( \frac{90}{360} \cdot 2\pi r = \frac{1}{4} \cdot 10\pi = 2.5\pi \approx 7.85 )

✏️ 五、练习题（计算题）

1. 圆的半径是 7，求周长（保留 π）
2. 圆的半径是 3，求面积（用 π 表示）
3. 圆的直径是 12，求半径 = ?
4. 半径是 6，扇形角度 60°，求弧长（保留 π）
5. 半径是 4，扇形角度 90°，求面积（保留 π）

1. 14π
2. 9π
3. 6
4. 2π
5. 4π

📘 第4单元 第4节：四边形与多边形的角度和推理

✅ 一、四边形的基本种类

📐 二、四边形的内角和公式

四边形可拆成两个三角形
[ \Rightarrow 内角和 = 180^\circ \times (4 - 2) = \boxed{360^\circ} ]

🧮 三、多边形的内角和 & 外角和

✅ 多边形内角和公式：

[ \text{内角和} = (n - 2) \cdot 180^\circ ]

✅ 每个内角（正多边形）：

[ \text{每个内角} = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} ]

✅ 外角和恒为：

[ \boxed{360^\circ} ]
无论几边形！

🌰 四、例子演示

✏️ 五、练习题（填空计算题）

1. 正六边形的每个内角是 ___ 度
2. 四边形内角和为 ___ 度
3. 正五边形的每个外角是 ___ 度
4. 一个正多边形每个内角是 150°，它有多少边？___
5. 一个多边形内角和是 1260°，这个多边形是 ___边形

📘 第4单元 第5节：几何推理与辅助线技巧

✅ 一、什么是几何推理？

几何推理是在图形中通过已知角度、边长、关系，
用逻辑思维找出未知量，常用于：

• 解角度问题
• 判断图形特征
• 证明图形性质

🧠 二、核心技巧整理

📐 三、常见辅助线套路

✏️ 四、练习题（纯文字推理）

1. 一条直线上，∠A = 110°，它的邻角 ∠B = ___
2. 两条直线相交形成对顶角 ∠1 = 45°，那么对顶角 ∠2 = ___
3. 一个三角形两个角是 50° 和 60°，第三个角一定是 ___
4. 有一个等腰三角形，底角是 40°，顶角是 ___
5. 若在三角形中作一条中线，将底边平分，两段相等，称作 ___

📘 什么是外角（Exterior Angle）？

✅ 定义：

外角是指一个多边形的任意一边向外延长，
与相邻边形成的角。

换句话说：

• 每个外角与它的相邻内角在一条直线上
• 所以： [ \text{外角} = 180^\circ - \text{对应内角} ]

🔍 图示说明（文字版）：

       B
      / \
     /   \
    /     \
   /_______\
  A         C

若边 BC 向右延长，则 ∠ACD 就是内角 ∠BCA 的外角

✅ 外角的几个重要性质：

1. 内角 + 外角 = 180°（在同一直线上）

[ \boxed{\text{外角} = 180^\circ - \text{内角}} ]

2. 一个多边形所有外角的和恒等于 360°

不管有几边：

[ \boxed{\text{外角和} = 360^\circ} ]

3. 正多边形中，每个外角相等：

[ \boxed{\text{每个外角} = \frac{360^\circ}{n}} \quad \text{(n 是边数)} ]

🌰 举个例子：

正五边形：

• 内角：108°
• 外角：( 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ )
• 外角和：( 72^\circ \times 5 = 360^\circ )

✅ 应用场景：

• 计算内角时的辅助角度
• 多边形结构角度推理
• 转弯路线问题（机器人、乌龟画图等）

非常好！我们先来总结整个第4单元的核心内容，再带你进行一轮综合测验来检验掌握情况 ✍️📘

📘 第4单元总结：实用几何与图形推理

✅ 一、核心知识回顾

🟢 第1节：点、线、角

🔵 第2节：三角形的种类与性质

🟡 第3节：圆的性质与计算

🟠 第4节：多边形的角度规律

🔴 第5节：几何推理技巧

📝 第4单元 综合测验（总分 100 分）

✅ 选择题（每题 10 分，共 5 题）

1️⃣ 三角形的内角和总是？
A. 90°  B. 180°  C. 270°  D. 360°

2️⃣ 一个半径为 6 的圆，其面积（用 π 表示）为？
A. ( 12\pi )  B. ( 36\pi )  C. ( 18\pi )  D. ( 6\pi )

3️⃣ 四边形的内角和是多少？
A. 180°  B. 270°  C. 360°  D. 540°

4️⃣ 正五边形每个外角是多少？
A. 108°  B. 72°  C. 60°  D. 90°

5️⃣ 对顶角的大小关系是？
A. 互补  B. 相加为 90°  C. 相等  D. 不确定

✏️ 填空题（每题 10 分，共 5 题）

6️⃣ 一个三角形有两个角分别为 40° 和 75°，第三个角是 ___ 度。

7️⃣ 圆的周长公式是： ( C = \underline{\ \ \ \ } )

8️⃣ 正六边形的每个内角是 ___ 度。

9️⃣ 等腰三角形两个底角为 65°，顶角是 ___ 度。

🔟 一个多边形的内角和是 1440°，它有 ___ 条边。

作答：

1. B
2. B
3. C
4. B
5. C
6. 65
7. 2πr
8. 120
9. 50
10. 10