[TOC]
概要
🧩 初等数学的必学概念（从零开始）
🟦 1. 数与运算基础
| 概念 | 解释 | ||
|---|---|---|---|
| 自然数、整数、有理数、实数 | 数字的分类 | ||
| 四则运算 | 加、减、乘、除的运算法则 | ||
| 运算顺序（括号优先） | PEMDAS 原则（括号-指数-乘除-加减） | ||
| 绝对值 | 表示一个数与 0 的距离，如 | −3 | = 3 |
| 分数与小数 | 分数转换小数、无限循环小数 | ||
| 百分比 | 利息、增长率、折扣等场景常用，例：30% = 0.3 |
🟦 2. 代数初步
| 概念 | 解释 |
|---|---|
| 变量与代数式 | 用字母表示未知数（如：x + 2 = 5） |
| 解方程 | 一元一次方程、一元二次方程的解法 |
| 指数运算 | (2^3 = 8)，指数规则 (a^m \cdot a^n = a^{m+n}) |
| 对数概念 | log 是指数的“反函数”，如 ( \log_2(8) = 3 ) |
| 括号展开与因式分解 | (x+1)(x+2) 展开为 ( x^2+3x+2 )，反过来叫“因式分解” |
🟦 3. 函数与图像
| 概念 | 解释 |
|---|---|
| 函数概念 | 每个输入 x 有唯一输出 y，y = f(x) |
| 常见函数类型 | 线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、分段函数 |
| 坐标系与图像 | 在 x-y 平面画出函数图像 |
| 函数增长趋势 | 上升/下降、凹/凸、是否快速增长（如 log vs exp） |
🟦 4. 初等几何
| 概念 | 解释 |
|---|---|
| 点、线、角、三角形 | 基础图形、角度计算、勾股定理 |
| 圆的半径、直径、周长、面积 | ( C = 2\pi r ), ( A = \pi r^2 ) |
| 面积与体积公式 | 矩形、圆、立方体、圆柱等常见形体 |
| 相似与全等 | 比例放大/缩小，几何推理基础 |
🟦 5. 基础统计与数据概念
| 概念 | 解释 |
|---|---|
| 平均数、中位数、众数 | 最基本的数据代表值 |
| 数据可视化 | 画柱状图、折线图、饼图 |
| 概率入门 | 掷骰子、抽卡、选人的基础概率计算 |
✨ 学习建议
- 每天学一点，每周复习总结一次
- 可以用图像和例子帮助理解（我可以帮你配图）
- 不必完美掌握，每块能看懂 70% 就足以继续往上学
- 遇到卡住的地方，随时来问我，我可以用图、表、动画例子讲解
课程结构
按“课本章节式”的方式，带你从初等数学系统学习，一步步建立扎实的数学基础。
📗 第1单元：数与四则运算
1.1 数的分类（自然数、整数、有理数、实数）
1.2 四则运算规则（加减乘除的运算顺序）
1.3 绝对值与相反数
1.4 分数与小数的互化
1.5 百分数与比（百分比、折扣、利率）
📘 第2单元：代数初步
2.1 变量与代数式
2.2 一元一次方程的解法
2.3 指数的运算规则
2.4 对数的概念与基本性质
2.5 因式分解与公式法则
📙 第3单元：函数与图像
3.1 函数的基本概念（输入、输出）
3.2 坐标平面与函数图像
3.3 线性函数与一次函数
3.4 二次函数与抛物线
3.5 对数函数与指数函数对比
📒 第4单元：初等几何基础
4.1 点、线、角、角度计算
4.2 三角形与勾股定理
4.3 圆的周长与面积
4.4 常见图形面积与体积
4.5 相似与全等、几何推理
📕 第5单元：基础统计与概率
5.1 平均数、中位数、众数
5.2 简单的柱状图与数据可视化
5.3 概率的定义与基本计算
5.4 样本、实验、事件
5.5 概率游戏与策略分析
🎯 学习方式建议：
每节课我会提供以下内容：
- ✅ 概念讲解（通俗易懂 + 举例）
- ✅ 图示（如有图形部分）
- ✅ 例题带练（你可选择跟做）
- ✅ 小测验（检验理解）
📘 第5单元：初等统计与概率入门
本单元将帮助你掌握如何收集、整理、描述数据，并理解不确定事件的发生概率。
✅ 单元目标：
你将学会：
- 计算和解释平均数、中位数、众数
- 绘制和阅读条形图、折线图、饼图等
- 判断事件发生的可能性
- 计算简单概率
🧭 第5单元章节预览
| 章节编号 | 内容 | 学习重点 |
|---|---|---|
| 5-1️⃣ | 数据收集与条形图、折线图 | 如何整理数据、看图说话 |
| 5-2️⃣ | 平均数、中位数、众数的计算 | 数据中心趋势的三种常用指标 |
| 5-3️⃣ | 简单概率与事件 | 什么是“可能性”？如何用分数表示概率？ |
| 5-4️⃣ | 实验与理论概率 | 实际试验 vs 理论计算的区别 |
| 5-5️⃣ | 事件的组合与互斥、必然与不可能 | 复杂事件之间的关系判断与加减概率法则 |
📘 第5单元 第1节：数据收集与条形图、折线图
✅ 一、什么是统计图表？
统计图是用图形形象地表示数据的方法，让我们更容易看出数据的趋势、差异与变化。
📊 二、常见统计图介绍
| 图表类型 | 特点与用途 | 示例场景 |
|---|---|---|
| 条形图 | 每条横向/纵向的柱表示一个项目的数据大小 | 比较班级人数、物品数量等 |
| 折线图 | 用点连接成线，表示数据随时间或序列的变化 | 气温、身高、体重变化等 |
| 饼图 | 用“饼块”显示各部分占整体的比例 | 比例结构（支出、时间分配等） |
📋 三、如何收集和整理数据？
- 明确问题（想知道什么？）
- 设计调查或记录表
- 收集原始数据
- 整理成表格或频数分布表
- 画图表示并分析数据
🌰 示例数据：
“某店一周内卖出面包的数量如下表”
| 星期 | 卖出数量（个） |
|---|---|
| 一 | 25 |
| 二 | 30 |
| 三 | 20 |
| 四 | 35 |
| 五 | 40 |
| 六 | 50 |
| 日 | 45 |
📈 四、条形图 vs 折线图：什么时候用？
| 情况 | 推荐图表 |
|---|---|
| 比较不同项目 | 条形图 |
| 观察随时间变化的趋势 | 折线图 |
| 看各部分占比 | 饼图 |
✏️ 五、练习题（数据分析判断）
根据上面的“面包销售数据表”，请回答：
- 一周中卖得最多的是哪一天？
- 一周中卖得最少的是哪一天？
- 卖出超过 40 个的有哪几天？
- 星期一和星期六相差多少个面包？
- 你推荐用哪种图表示这组数据？为什么？
📊 条形图示例
这就是你请求的条形图示例，表示“某店一周内面包的销售情况”：
- 最高销售：星期六（Sat），50 个面包
- 最低销售：星期三（Wed），20 个面包
- 整体趋势：周中偏低，周末逐渐上升，表现出典型的“周末消费高峰”
📈 折线图（Line Chart）
- 用于显示时间序列变化趋势
- 可以清楚地看出周中销售波动，周末明显上升
- 特别适合分析“增长、下降、波动”等动态趋势
🍕 饼图（Pie Chart）
- 每一块代表每天所占总销售的比例
- 可直观看出哪天销售最多、占比最大
- 适合看“比例结构”或“资源分配”
📘 第5单元 第2节：平均数、中位数、众数的计算
✅ 一、平均数（Mean）
平均数是“把所有数平分”的结果，也就是“总和 ÷ 个数”
公式：
[ \text{平均数} = \frac{\text{所有数据加起来的总和}}{\text{数据的个数}} ]
🌰 例子：
数据：[ 2, 4, 6, 8, 10 ]
总和 = 30，个数 = 5
[
\text{平均数} = \frac{30}{5} = 6
]
✅ 二、中位数（Median）
中位数是“中间那个数”，表示数据的中心位置
方法：
- 先 从小到大排序
- 数据个数为奇数 → 正中间那个数
- 数据个数为偶数 → 中间两个数的平均值
🌰 例子：
- 奇数个：[ 1, 3, 5 ] → 中位数 = 3
- 偶数个：[ 2, 4, 6, 8 ] → 中位数 = ( (4 + 6)/2 = 5 )
✅ 三、众数（Mode）
众数是数据中出现次数最多的数
特点：
- 可能有多个众数
- 如果每个数都出现 1 次 → 没有众数
🌰 例子：
[ 1, 2, 2, 3, 4 ] → 众数 = 2
[ 5, 5, 7, 7, 9 ] → 众数 = 5 和 7（双众数）
✏️ 四、练习题
数据集：[ 6, 3, 8, 6, 2, 9, 6, 4 ]
请你计算：
- 平均数 = ?
- 中位数 = ?
- 众数 = ?